写在前面
参考资料
- TI毫米波入门文档：The fundamentals of millimeter wave radar sensors
- 为什么在毫米波雷达中使用复基带信号：Using a complex-baseband
architecture in FMCW radar systems - 通信原理-角度调制I by 张锦皓Roger：通信原理 主讲：张锦皓
毫米波信号的表示
阅读很多论文，我发现非常多的文章都采用了复中频信号表示，例如载波频率为f_c，斜率为 K的毫米波雷达，距离为R的物体产生的回波信号可以表示为s=exp(j4\pi(f_c+Kt)\frac{R}{c})。当然，TI的毫米波雷达也确实是这么做的，原因可以参考TI的文章，大概可以概括为：复基带信号可以将FFT后的功率都变换到正频率边带上，方便处理、更加抗干扰。
但是这篇文章仍将使用传统的三角函数表示方式。只取实中频信号，无论如何仍旧是可行的，且更方便理解。如上面的回波信号，我们会写成s=cos(4\pi(f_c+Kt)\frac{R}{c})
复边带信号的虚部就是将实部向后推\frac{\pi}{2}个周期，我们可以很容易通过欧拉公式得到这个结论。
s=exp(j4\pi(f_c+Kt)\frac{R}{c})=cos(4\pi(f_c+Kt)\frac{R}{c})+j\cdot sin(4\pi(f_c+Kt)\frac{R}{c})
虚部的sin，可不就只与实部差1/4个周期吗？
（乘法）混频器的工作原理
之前阅读TI毫米波入门文档时，差频信号的产生依赖于发射（TX）信号与经过物体反射回到毫米波雷达的接收（RX）信号。假设发射信号和接收信号分别为S_{TX}与S_{RX}：
S_{TX}=cos(2\pi f_0t+\varphi_0)
S_{RX}=cos(2\pi f_1t+\varphi_1)
那么产生的差频信号就是：
S_{IF}=cos(2\pi (f_0-f_1)t+(\varphi_0-\varphi_1))
当时对于射频知识一无所知的我认为：混频器是一个超级高大上的器件，毫米波的频率有几十个GHz，怎么能做到实时处理如此高频的信号的？
当然，我现在已经知道，混频器，其实可以由一个乘法器+一个滤波器来进行实现。也就是将其两个输入的瞬时值直接相乘，再滤波，就能得到中频信号了。具体的数学推导也很简单，可以直接利用三角函数积化合差公式。
三角函数积化合差公式（之一）:
cos(a)+cos(b)=\frac{1}{2}\cdot (cos(a+b)+cos(a-b))
因此：
S_{TX}\cdot S_{RX}= cos(2\pi f_0t+\varphi_0)cos(2\pi f_1t+\varphi_1)=...
...=\frac{1}{2}\cdot (cos(2\pi (f_0+f_1)t+(\varphi_0+\varphi_1))+cos(2\pi (f_0-f_1)t+(\varphi_0-\varphi_1)))
我们可以看到，我们需要的中频信号已经得到了。只需将乘法器的结果通过一个低通滤波器，将频率成分f_0+f_1滤掉，保留f_0-f_1就行了。
在TI文档上展示的混频器如下图中的mixer所示：
FMCW雷达中频信号的推导
调幅与调角
假设载波信号的表达式为：S_c=Acos(\omega_ct+\varphi)
通过改变载波信号幅度的调制方式，称作调幅：S_{AM}=A(t)cos(w_ct+\varphi)
通过改变相位的调制方式，称为调角：S_{Angle}=Acos(\omega_ct+\varphi(t))
调频与调相，都是调角的一种。
瞬时相位与瞬时角频率
所谓“瞬时”，指的是特定的t时刻，载波信号的状态。
瞬时相位就是把cos表达式括号内的表达式直接拿出来。例如：S_c=Acos(\omega_ct+\varphi)的瞬时相位就是\omega_ct+\varphi。瞬时相位就是信号已经经过的周期数乘以2\pi。
瞬时角频率（也许可以叫瞬时角速度）就是瞬时相位对时间的导数。在调频的情况下：\varphi不是时间的函数，则瞬时角频率等于载波频率\omega_c；在调角的情况下，\varphi(t)是时间的函数，则瞬时角频率等于载波频率\omega_c加上调角带来的瞬时角频偏\frac{d\varphi}{dt}。
可以将信号看作一个圆周运动物体的轨迹，\omega是角速度，\varphi是初始位置与0角度参考线（极坐标中的极轴）的夹角。瞬时相位就是物体的当前位置，而瞬时角频率则是瞬时角速度。
调相与调频
调相与调频都属于调角，区别在于基带信号m(t)与瞬时相位差\varphi(t)之间的关系。
调相信号的瞬时相位差与基带信号具有正比例关系，即\varphi(t)=K_pm(t)，其中常数K_p称为相移常数。调相信号的表达式为：S_{PM}=Acos(\omega_ct+K_pm(t))
调频信号的瞬时角频偏与基带信号具有正比例关系，即\frac{d\varphi}{dt}=K_fm(t)，其中常数K_f称为频偏常数。调相信号的表达式为：S_{FM}=Acos(\omega_ct+K_f\int m(\tau)d\tau)
FMCW雷达的载波
FMCW雷达采用调频技术，频率随时间线性变化。这里的频率可以认为是瞬时角频率。\frac{d(\omega_c t +\varphi)}{dt}=\omega_c + \frac{d\varphi}{dt}
由于载波频率\omega_c是常数（在TI的设备上一般是60GHz或77GHz），因此：\frac{d\varphi}{dt}随时间线性变化。假设FMCW雷达的频率（角速度）对时间的斜率为K，即：\frac{d\varphi}{dt}=Kt。
记\varphi'(t)=\frac{d\varphi}{dt}=Kt我们就可以利用积分算出瞬时相位：\varphi(t)=\int \varphi'(\tau)d\tau=\int K\tau d\tau=\frac{K}{2}t^2+c
因此，我们可以得到FMCW载波的最终表达式：S_{FMCW}(t)=Acos(\omega_c t+\frac{K}{2}t^2+c)。
我们已经知道了瞬时频率与时间的变化关系是线性的，我们当然可以认为载波频率\omega_c是一个随时间变化的量\omega_c(t)=\omega_c(0)+Kt，这样一来FMCW载波的表达式就变为S_{FMCW}(t)=Acos((\omega_c +Kt) t+c)。这也能得到只差一个系数\frac{1}{2}的正确结果。
但是，当我们想要把一个任意的基带信号m(t)以调频方式加载到载波上时，我们不能简单地直接把基带信号加在载波频率上，例如：Acos((\omega_c+km(t))t)。这样求出的瞬时频偏不会等于km(t)，会得到不正确的结果。
中频信号的推导
调频连续波信号的返回信号是发射信号的延时信号。延时时间t_0=\frac{2d}{c}，d为反射物与雷达的距离。因此：
发射信号：S_{TX}(t)=Acos(\omega_c t+\frac{K}{2}t^2+c)
接收信号：S_{RX}(t)=Acos(\omega_c (t-t_0)+\frac{K}{2}(t-t_0)^2+c)
中频信号是二者的混频，由前面得到的积化和差公式，加上低通滤波可得：
S_{IF}(t)=Acos(Kt_0t+\omega_ct_0-\frac{K}{2}t_0^2)
由于t_0非常小，因此可以忽略关于t_0^2的高阶小量，中频信号的最终表达式为：
S_{IF}(t)\approx Acos(Kt_0t+\omega_ct_0)
与TI文档给出的中频信号表达式相比：
其中，Kt_0=2\pi S\frac{2d}{c}=2\pi f_o，\omega_ct_0=2\pi f_c\frac{2d}{c}。由于波速除以频率等于波长，即\lambda=\frac{c}{f_c}，故\omega_ct_0=\frac{4\pi d}{\lambda}。完全一致，推导完成！
文章评论